Prelude.Nat

(-) : (m : Nat) -> (n : Nat) -> {auto smaller : LTE n m} -> Nat

Fixity

Left associative, precedence 8

record Additive 

A wrapper for Nat that specifies the semigroup and monoid implementations that use (+)

GetAdditive : Nat -> Additive

__pi_arg : (rec : Additive) -> Nat

data CmpNat : Nat -> Nat -> Type

CmpLT : (y : Nat) -> CmpNat x (x + S y)

CmpEQ : CmpNat x x

CmpGT : (x : Nat) -> CmpNat (y + S x) y

GT : Nat -> Nat -> Type

Strict greater than

GTE : Nat -> Nat -> Type

Greater than or equal to

GetAdditive : Nat -> Additive

GetMultiplicative : Nat -> Multiplicative

data IsSucc : (n : Nat) -> Type

Proof that n is not equal to Z

ItIsSucc : IsSucc (S n)

LT : Nat -> Nat -> Type

Strict less than

data LTE : (n : Nat) -> (m : Nat) -> Type

Proofs that n is less than or equal to m

n

the smaller number

m

the larger number

LTEZero : LTE 0 right

Zero is the smallest Nat

LTESucc : LTE left right -> LTE (S left) (S right)

If n <= m, then n + 1 <= m + 1

LTESuccZeroFalse : (n : Nat) -> lte (S n) 0 = False

record Multiplicative 

A wrapper for Nat that specifies the semigroup and monoid implementations that use (*)

GetMultiplicative : Nat -> Multiplicative

__pi_arg : (rec : Multiplicative) -> Nat

data Nat : Type

Natural numbers: unbounded, unsigned integers which can be pattern
matched.

Z : Nat

Zero

S : Nat -> Nat

Successor

data NotBothZero : (n : Nat) -> (m : Nat) -> Type

Proofs that n or m is not equal to Z

LeftIsNotZero : NotBothZero (S n) m

RightIsNotZero : NotBothZero n (S m)

SIsNotZ : (S x = 0) -> Void

The proof that no successor of a natural number can be zero.

modNatNZ 10 3 SIsNotZ

cmp : (x : Nat) -> (y : Nat) -> CmpNat x y

divCeil : Nat -> Nat -> Nat

divCeilNZ : Nat -> (y : Nat) -> Not (y = fromInteger 0) -> Nat

divNat : Nat -> Nat -> Nat

divNatNZ : Nat -> (y : Nat) -> Not (y = 0) -> Nat

Division where the divisor is not zero.

divNatNZ 100 2 SIsNotZ

eqSucc : (left : Nat) -> (right : Nat) -> (p : left = right) -> S left = S right

S preserves equality

fact : Nat -> Nat

Factorial function

fib : Nat -> Nat

Fibonacci numbers

fromIntegerNat : Integer -> Nat

Convert an Integer to a Nat, mapping negative numbers to 0

fromLteSucc : LTE (S m) (S n) -> LTE m n

If two numbers are ordered, their predecessors are too

gcd : (a : Nat) -> (b : Nat) -> {auto ok : NotBothZero a b} -> Nat

gt : Nat -> Nat -> Bool

Boolean test than one Nat is strictly greater than another

gte : Nat -> Nat -> Bool

Boolean test than one Nat is greater than or equal to another

hyper : Nat -> Nat -> Nat -> Nat

ifThenElseMultMultLeft : (cond : Bool) -> (left : Nat) -> (t : Nat) -> (f : Nat) -> left * ifThenElse cond (Delay t) (Delay f) = ifThenElse cond (Delay (left * t)) (Delay (left * f))

ifThenElseMultMultRight : (cond : Bool) -> (right : Nat) -> (t : Nat) -> (f : Nat) -> ifThenElse cond (Delay t) (Delay f) * right = ifThenElse cond (Delay (t * right)) (Delay (f * right))

ifThenElsePlusPlusLeft : (cond : Bool) -> (left : Nat) -> (t : Nat) -> (f : Nat) -> left + ifThenElse cond (Delay t) (Delay f) = ifThenElse cond (Delay (left + t)) (Delay (left + f))

ifThenElsePlusPlusRight : (cond : Bool) -> (right : Nat) -> (t : Nat) -> (f : Nat) -> ifThenElse cond (Delay t) (Delay f) + right = ifThenElse cond (Delay (t + right)) (Delay (f + right))

ifThenElseSuccSucc : (cond : Bool) -> (t : Nat) -> (f : Nat) -> S (ifThenElse cond (Delay t) (Delay f)) = ifThenElse cond (Delay (S t)) (Delay (S f))

isItSucc : (n : Nat) -> Dec (IsSucc n)

A decision procedure for IsSucc

isLTE : (m : Nat) -> (n : Nat) -> Dec (LTE m n)

A decision procedure for LTE

isSucc : Nat -> Bool

isZero : Nat -> Bool

lcm : Nat -> Nat -> Nat

log2 : Nat -> Nat

log2NZ : (x : Nat) -> Not (x = 0) -> Nat

lt : Nat -> Nat -> Bool

Boolean test than one Nat is strictly less than another

lte : Nat -> Nat -> Bool

Boolean test than one Nat is less than or equal to another

lteAddRight : (n : Nat) -> LTE n (plus n m)

lteNTrue : (n : Nat) -> lte n n = True

lteRefl : LTE n n

LTE is reflexive.

lteSuccLeft : LTE (S n) m -> LTE n m

n + 1 < m implies n < m

lteSuccRight : LTE n m -> LTE n (S m)

n < m implies n < m + 1

lteTransitive : LTE n m -> LTE m p -> LTE n p

LTE is transitive

maximum : Nat -> Nat -> Nat

Find the greatest of two natural numbers

maximumAssociative : (l : Nat) -> (c : Nat) -> (r : Nat) -> maximum l (maximum c r) = maximum (maximum l c) r

maximumCommutative : (l : Nat) -> (r : Nat) -> maximum l r = maximum r l

maximumIdempotent : (n : Nat) -> maximum n n = n

maximumSuccSucc : (left : Nat) -> (right : Nat) -> S (maximum left right) = maximum (S left) (S right)

maximumZeroNLeft : (left : Nat) -> maximum left 0 = left

maximumZeroNRight : (right : Nat) -> maximum 0 right = right

minimum : Nat -> Nat -> Nat

Find the least of two natural numbers

minimumAssociative : (l : Nat) -> (c : Nat) -> (r : Nat) -> minimum l (minimum c r) = minimum (minimum l c) r

minimumCommutative : (l : Nat) -> (r : Nat) -> minimum l r = minimum r l

minimumIdempotent : (n : Nat) -> minimum n n = n

minimumSuccSucc : (left : Nat) -> (right : Nat) -> minimum (S left) (S right) = S (minimum left right)

minimumZeroZeroLeft : (left : Nat) -> minimum left (fromInteger 0) = 0

minimumZeroZeroRight : (right : Nat) -> minimum (fromInteger 0) right = 0

minus : Nat -> Nat -> Nat

Subtract natural numbers. If the second number is larger than the first, return 0.

minusMinusMinusPlus : (left : Nat) -> (centre : Nat) -> (right : Nat) -> minus (minus left centre) right = minus left (centre + right)

minusOneSuccN : (n : Nat) -> 1 = minus (S n) n

minusPlusZero : (n : Nat) -> (m : Nat) -> minus n (n + m) = 0

minusSuccOne : (n : Nat) -> minus (S n) (fromInteger 1) = n

minusSuccPred : (left : Nat) -> (right : Nat) -> minus left (S right) = pred (minus left right)

minusSuccSucc : (left : Nat) -> (right : Nat) -> minus (S left) (S right) = minus left right

minusZeroLeft : (right : Nat) -> minus (fromInteger 0) right = 0

minusZeroN : (n : Nat) -> 0 = minus n n

minusZeroRight : (left : Nat) -> minus left (fromInteger 0) = left

modNat : Nat -> Nat -> Nat

modNatNZ : Nat -> (y : Nat) -> Not (y = 0) -> Nat

Modulus function where the divisor is not zero.

modNatNZ 100 2 SIsNotZ

mult : Nat -> Nat -> Nat

Multiply natural numbers

multAssociative : (left : Nat) -> (centre : Nat) -> (right : Nat) -> left * (centre * right) = left * centre * right

multCommutative : (left : Nat) -> (right : Nat) -> left * right = right * left

multDistributesOverMinusLeft : (left : Nat) -> (centre : Nat) -> (right : Nat) -> minus left centre * right = minus (left * right) (centre * right)

multDistributesOverMinusRight : (left : Nat) -> (centre : Nat) -> (right : Nat) -> left * minus centre right = minus (left * centre) (left * right)

multDistributesOverPlusLeft : (left : Nat) -> (centre : Nat) -> (right : Nat) -> (left + centre) * right = left * right + centre * right

multDistributesOverPlusRight : (left : Nat) -> (centre : Nat) -> (right : Nat) -> left * (centre + right) = left * centre + left * right

multLeftSuccPlus : (left : Nat) -> (right : Nat) -> S left * right = right + left * right

multOneLeftNeutral : (right : Nat) -> fromInteger 1 * right = right

multOneRightNeutral : (left : Nat) -> left * fromInteger 1 = left

multPowerPowerPlus : (base : Nat) -> (exp : Nat) -> (exp' : Nat) -> power base exp * power base exp' = power base (exp + exp')

multRightSuccPlus : (left : Nat) -> (right : Nat) -> left * S right = left + left * right

multZeroLeftZero : (right : Nat) -> 0 * right = 0

multZeroRightZero : (left : Nat) -> left * 0 = 0

notLTImpliesGTE : Not (LT a b) -> GTE a b

If a number is not less than another, it is greater than or equal to it

plus : (n : Nat) -> (m : Nat) -> Nat

Add two natural numbers.

n

the number to case-split on

m

the other number

plusAssociative : (left : Nat) -> (centre : Nat) -> (right : Nat) -> left + (centre + right) = left + centre + right

plusCommutative : (left : Nat) -> (right : Nat) -> left + right = right + left

plusConstantLeft : (left : Nat) -> (right : Nat) -> (c : Nat) -> (p : left = right) -> c + left = c + right

plusConstantRight : (left : Nat) -> (right : Nat) -> (c : Nat) -> (p : left = right) -> left + c = right + c

plusLeftCancel : (left : Nat) -> (right : Nat) -> (right' : Nat) -> (p : left + right = left + right') -> right = right'

plusLeftLeftRightZero : (left : Nat) -> (right : Nat) -> (p : left + right = left) -> right = 0

plusMinusLeftCancel : (left : Nat) -> (right : Nat) -> (right' : Nat) -> minus (left + right) (left + right') = minus right right'

plusOneSucc : (right : Nat) -> fromInteger 1 + right = S right

plusRightCancel : (left : Nat) -> (left' : Nat) -> (right : Nat) -> (p : left + right = left' + right) -> left = left'

plusSuccRightSucc : (left : Nat) -> (right : Nat) -> S (left + right) = left + S right

plusZeroLeftNeutral : (right : Nat) -> fromInteger 0 + right = right

plusZeroRightNeutral : (left : Nat) -> left + fromInteger 0 = left

power : Nat -> Nat -> Nat

Exponentiation of natural numbers

powerOneNeutral : (base : Nat) -> power base (fromInteger 1) = base

powerOneSuccOne : (exp : Nat) -> power (fromInteger 1) exp = 1

powerPowerMultPower : (base : Nat) -> (exp : Nat) -> (exp' : Nat) -> power (power base exp) exp' = power base (exp * exp')

powerSuccPowerLeft : (base : Nat) -> (exp : Nat) -> power base (S exp) = base * power base exp

powerSuccSuccMult : (base : Nat) -> power base (fromInteger 2) = mult base base

powerZeroOne : (base : Nat) -> power base (fromInteger 0) = 1

pred : Nat -> Nat

The predecessor of a natural number. pred Z is Z.

predSucc : (n : Nat) -> pred (S n) = n

sucMaxL : (l : Nat) -> maximum (S l) l = S l

sucMaxR : (l : Nat) -> maximum l (S l) = S l

sucMinL : (l : Nat) -> minimum (S l) l = l

sucMinR : (l : Nat) -> minimum l (S l) = l

succInjective : (left : Nat) -> (right : Nat) -> (p : S left = S right) -> left = right

S is injective

succNotLTEzero : Not (LTE (S m) 0)

A successor is never less than or equal zero

toIntNat : Nat -> Int

Cast Nat to Int
Note that this can overflow

toIntegerNat : Nat -> Integer

Convert a Nat to an Integer